定义

$\phi(n)$: 小于n的正整数中与n互质的个数$(\phi(1) = 1)$

欧拉函数是积性函数

通式:$\phi(n) = x \prod^{n}_{i=1}(1 - \frac{1}{p_i})$

$p_i$为n的质因子

对于$n = p^k$,p为质数。 $\phi(n) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1} (p - 1)$

因为欧拉函数是积性函数

对于$n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}$, $\phi(n) = p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)$

性质

  1. 若n为质数,则$\phi(n) = n-1$
  2. 一个数的质因子之和为$\frac{\phi(n) \times n}{2}$

模板

// 求单个Eular函数
map<ll, ll> Eular;  //记忆化
ll eular(ll n) {
    ll &ret = Eular[n];
    if (ret) return ret;
    ret = n;
    for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ret -= ret / i;
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ret -= ret / n;
    return ret;
}

// 线性筛 (同时得到欧拉函数和素数表)
const int maxn = 1e7 + 5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn], phi[maxn];
void init() {
    clr(vis, 0);
    phi[1] = 1;
    int tot = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[tot++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int k = 0; k < tot && 1LL * i * prime[k] < maxn; k++) {
            vis[i * prime[k]] = 1;
            if (i % prime[k] == 0) {
                phi[i * prime[k]] = phi[i] * prime[k];
                break;
            }
            phi[i * prime[k]] = phi[i] * (prime[k] - 1);
        }
    }
}

// 打表 (太慢了不要用)
const maxn = 1e6 + 5;
void getEular() {
    clr(eular, 0);
    eular[1] = 1;
    for (ll i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!eular[i])
            for (ll k = i; k < maxn; k += i) {
                if (!eular[k]) eular[k] = k;
                eular[k] = eular[k] / i * (i - 1);
            }
    }
}
最后修改:2020 年 07 月 30 日 10 : 26 PM